Guía de estudio · Matemática · 8° básico

Transformaciones isométricas

Trasladar, reflejar y rotar una figura en el plano cartesiano sin cambiarle la forma ni el tamaño. Aprenderás a mover cada punto con vectores, ejes y un punto de giro.

Geometría · Currículum oficial: OA13

Ideas clave

Una transformación isométrica mueve una figura sin deformarla: conserva la forma y el tamaño.
La figura de partida se llama pre-imagen y la figura ya movida se llama imagen. Sus puntos se anotan con una comilla: A pasa a A'.
Trasladar es deslizar todos los puntos lo mismo. El vector $(a, b)$ dice cuánto a la derecha o izquierda y cuánto arriba o abajo.
Reflejar es dar vuelta la figura como en un espejo. Cada punto queda a la misma distancia del eje, pero al otro lado.
Rotar es girar la figura alrededor de un punto. Una rotación de 180° deja cada punto al otro lado del punto de giro, en línea recta con él.
Una rotación de 180° es una reflexión en un punto, llamado punto de simetría.
Dos traslaciones seguidas se juntan sumando sus vectores.

Reglas y fórmulas

Traslación con un vector

(x + a, y + b)

El punto $(x, y)$ trasladado con el vector $(a, b)$ queda en $(x + a, y + b)$ . Un $a$ positivo mueve a la derecha y uno negativo a la izquierda. Un $b$ positivo mueve hacia arriba y uno negativo hacia abajo.

Reflexión sobre el eje x

(x, -y)

Al reflejar sobre el eje horizontal, la coordenada $x$ se queda igual y la coordenada $y$ cambia de signo.

Reflexión sobre el eje y

(-x, y)

Al reflejar sobre el eje vertical, la coordenada $y$ se queda igual y la coordenada $x$ cambia de signo.

Rotación de 180° respecto del origen

(-x, -y)

Al girar media vuelta alrededor del punto $(0, 0)$ , las dos coordenadas cambian de signo. Es lo mismo que una reflexión en ese punto.

Combinar dos traslaciones

(a + c, b + d)

Si primero se traslada con $(a, b)$ y después con $(c, d)$ , el resultado es una sola traslación con el vector suma $(a + c, b + d)$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1

Traslada el triángulo de vértices $A(1, 1)$ , $B(3, 1)$ y $C(1, 4)$ con el vector $(4, 2)$ .

El vector $(4, 2)$ dice: 4 unidades a la derecha y 2 hacia arriba. Eso se suma a cada vértice.
Para $A$ : $(1 + 4, 1 + 2) = (5, 3)$ , así que $A'(5, 3)$ .
Para $B$ : $(3 + 4, 1 + 2) = (7, 3)$ , así que $B'(7, 3)$ .
Para $C$ : $(1 + 4, 4 + 2) = (5, 6)$ , así que $C'(5, 6)$ .
Comprobamos: el lado $AB$ medía 2 y $A'B'$ también mide 2 ( $7 - 5$ ). La forma no cambió.

Respuesta: $A'(5, 3)$ , $B'(7, 3)$ y $C'(5, 6)$ .

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