Guía de estudio · Matemática · 8° básico

Teorema de Pitágoras

En un triángulo con un ángulo recto, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Con dos lados conocidos puedes calcular el tercero y saber si un triángulo es rectángulo.

Geometría · Currículum oficial: OA12

Ideas clave

Un triángulo rectángulo tiene un ángulo de $90°$ , el ángulo recto.
Los dos lados que forman el ángulo recto se llaman catetos. El lado de enfrente, el más largo, se llama hipotenusa.
Si dibujas un cuadrado sobre cada lado, el área del cuadrado grande (el de la hipotenusa) es igual a la suma de las áreas de los dos cuadrados pequeños.
Con letras: si los catetos miden $a$ y $b$ y la hipotenusa mide $c$ , entonces $c^2 = a^2 + b^2$ .
Con dos lados de un triángulo rectángulo puedes calcular el tercero, usando la raíz cuadrada al final.
Para buscar un cateto se resta: $a^2 = c^2 - b^2$ . Para buscar la hipotenusa se suma.
Si las medidas de un triángulo cumplen $c^2 = a^2 + b^2$ con $c$ el lado mayor, el triángulo es rectángulo. Si no cumplen, no lo es.
En problemas de la vida diaria, primero busca el triángulo rectángulo escondido (una escalera, una diagonal, una rampa) y luego aplica el teorema.

Reglas y fórmulas

Teorema de Pitágoras

c^2 = a^2 + b^2

$a$ y $b$ son los catetos y $c$ es la hipotenusa. Sirve solo en triángulos con un ángulo recto. La hipotenusa siempre es el lado opuesto al ángulo recto.

Calcular la hipotenusa

c = \sqrt{a^2 + b^2}

Se elevan los dos catetos al cuadrado, se suman y al resultado se le saca la raíz cuadrada.

Calcular un cateto

a = \sqrt{c^2 - b^2}

Se despeja $a^2$ restando $b^2$ a ambos lados. Se resta porque la hipotenusa es el lado más largo y ya contiene la suma de los dos cuadrados.

Comprobar si un triángulo es rectángulo

c^2 = a^2 + b^2

Se toma el lado mayor como $c$ . Si la igualdad se cumple, el triángulo es rectángulo. Si no se cumple, no lo es.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1

Un triángulo rectángulo tiene catetos de $3$ cm y $4$ cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa?

Los catetos son $a = 3$ y $b = 4$ . Se pide la hipotenusa $c$ .
Se escribe el teorema: $c^2 = a^2 + b^2$ .
Se reemplaza: $c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ .
Se busca el número que multiplicado por sí mismo da $25$ : $c = \sqrt{25} = 5$ .
Se comprueba: $5^2 = 25$ y $9 + 16 = 25$ . Calza.

Respuesta: La hipotenusa mide $5$ cm.

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