Guía de estudio · Matemática · 8° básico

Función lineal y función afín

Una función es una máquina: entra x y sale un solo y. La lineal es $y = a \cdot x$ y la afín suma una constante: $y = a \cdot x + b$ . Aquí aprendes a leer tablas, calcular a y b, y armar la regla con dos puntos.

Álgebra y funciones · Currículum oficial: OA7, OA10

Ideas clave

La máquina entrega un solo valor y por cada x que entra: si pones 2, sale siempre el mismo número, nunca dos distintos. Eso es una función.
Función lineal: la regla es $y = a \cdot x$ . En la tabla, todos los pares tienen el mismo cociente $y \div x$ , y ese cociente es $a$ . Su gráfico es una recta que pasa por $(0,0)$.
f(x) es otra forma de escribir y: el valor que sale de la máquina cuando entra x. Por eso $f(x) = a \cdot x$ y $y = a \cdot x$ dicen lo mismo.
Función afín: $y = a \cdot x + b$ . Es una función lineal con una constante sumada. El número $b$ es el valor inicial, lo que hay cuando $x = 0$ .
La recta afín es la lineal trasladada hacia arriba (si b es positivo) o hacia abajo (si b es negativo).
Mientras más lejos de 0 esté a, más inclinada la recta. Si a es negativo, la recta baja en vez de subir. Si a es positivo, sube.
Un ahorro con interés simple también es afín: b es la plata que pusiste al principio y a es lo que gana cada mes, siempre lo mismo. Si pones 10.000 pesos y gana 500 cada mes, la regla es $y = 500 \cdot x + 10000$ .

Reglas y fórmulas

Función lineal

y = a \cdot x

Multiplicas x por un número fijo a. Si $x = 0$ , entonces $y = 0$ , así que la recta pasa por el origen. Para encontrar a, divide $y \div x$ en cualquier par de la tabla donde x no sea 0.

Función afín

y = a \cdot x + b

Multiplicas x por a y después sumas b. La recta corta el eje vertical en el punto $(0, b)$ . El número a dice cuánto cambia y cada vez que x sube 1.

Cómo calcular a con dos puntos

a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

La letra Δ se lee delta y significa cuánto cambió. Se calcula con dos puntos de la recta: cuánto cambia y dividido por cuánto cambia x. Sirve para la lineal y para la afín. Aquí los puntos son $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ .

Cambio constante

f(x + 1) - f(x) = a

f(x) es otra forma de escribir y: el valor que sale de la máquina cuando entra x. En una función lineal o afín, cada vez que x sube 1, y cambia siempre en la misma cantidad a.

Comprobar un punto

Para saber si un punto $(x, y)$ está en la recta, reemplaza su x y su y en la regla. Si la igualdad queda verdadera, el punto pertenece a la recta.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1

Una tabla tiene estos pares $(x, y)$ : $(1, 3)$, $(2, 6)$, $(3, 9)$, $(4, 12)$. Encuentra la regla y calcula y cuando $x = 10$ .

Divide y entre x en cada par: $3 \div 1 = 3$ , $6 \div 2 = 3$ , $9 \div 3 = 3$ , $12 \div 4 = 3$ .
Siempre da 3, así que es una función lineal y $a = 3$ .
La regla es $y = 3 \cdot x$ .
Reemplaza $x = 10$ : $y = 3 \cdot 10 = 30$ .

Respuesta: La regla es $y = 3 \cdot x$ y para $x = 10$ sale $y = 30$ .

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