Guía de estudio · Matemática · 8° básico

Expresiones algebraicas y factorización

Aprende a multiplicar y a factorizar expresiones algebraicas usando áreas de rectángulos. Si ves el producto como un rectángulo, desarmarlo y armarlo se vuelve mucho más fácil.

Álgebra y funciones · Currículum oficial: OA6

Ideas clave

  • Una expresión algebraica usa letras para representar números que pueden cambiar, como 3x+23x + 2.
  • Un término es una parte de la expresión separada por sumas o restas. Los términos semejantes tienen la misma letra y se pueden reducir.
  • El área de un rectángulo es base por altura. Si la base o la altura son sumas, el rectángulo se puede partir en rectángulos más chicos.
  • Desarrollar es pasar de producto a suma: a(b+c)=ab+aca(b + c) = ab + ac.
  • Factorizar es el camino de vuelta: pasar de suma a producto, sacando un factor común.
  • Siempre se puede comprobar: multiplica el resultado factorizado y debes volver a la expresión original.

Reglas y fórmulas

Propiedad distributiva

a(b+c)=ab+aca(b + c) = ab + ac

El factor de afuera multiplica a cada término del paréntesis. En un rectángulo de altura aa y base b+cb + c, el área total es la suma de las dos partes: $ab$ y $ac$.

Producto de dos sumas

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Cada término del primer paréntesis multiplica a cada término del segundo. En el dibujo son cuatro rectángulos pequeños dentro de uno grande.

Reducción de términos semejantes

ax+bx=(a+b)xax + bx = (a + b)x

Solo se suman los términos que tienen la misma letra y el mismo exponente. Se suman los números que acompañan a la letra y la letra se queda igual.

Factorización por factor común

ab+ac=a(b+c)ab + ac = a(b + c)

Se busca el número o la letra que está en todos los términos. Ese factor se escribe afuera y lo que sobra de cada término queda dentro del paréntesis.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1

Un rectángulo tiene altura xx y base x+3x + 3. Escribe su área como suma, sin paréntesis.

  1. El área es base por altura: x(x+3)x(x + 3).
  2. Parte la base en dos tramos: uno de largo xx y otro de largo 33.
  3. El primer rectángulo tiene área x⋅x=x2x \cdot x = x^2.
  4. El segundo rectángulo tiene área x⋅3=3xx \cdot 3 = 3x.
  5. El área total es la suma de las dos partes: x2+3xx^2 + 3x.

Respuesta: x(x+3)=x2+3xx(x + 3) = x^2 + 3x

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