Guía de estudio · Matemática · 8° básico

Área y volumen de prismas y cilindros

El volumen dice cuánto cabe adentro y el área dice cuánto papel cubre por fuera. Con la red desplegada de prismas y cilindros se entienden las dos fórmulas y se usan en problemas.

Geometría · Currículum oficial: OA11

Ideas clave

  • Un prisma recto tiene dos bases iguales y caras laterales que son rectángulos.
  • Un cilindro tiene dos bases que son círculos iguales y una cara lateral curva que, al desplegarla, es un rectángulo.
  • El volumen mide cuánto espacio ocupa el cuerpo por dentro y se da en unidades cúbicas, como cm3\text{cm}^3.
  • El área de superficie mide todo lo que cubre la red desplegada y se da en unidades cuadradas, como cm2\text{cm}^2.
  • Para el volumen de un prisma o de un cilindro se multiplica el área de la base por la altura.
  • Para el área de superficie se suman las dos bases y la parte lateral.
  • Si un prisma tiene una base de polígono regular con muchos lados, se parece cada vez más a un cilindro.
  • En el cilindro aparece π\pi, que vale aproximadamente 3,143{,}14.

Reglas y fórmulas

Volumen de un prisma recto

V=Abase⋅hV = A_{base} \cdot h

Se calcula el área de la base, sea rectángulo, triángulo u otro polígono, y se multiplica por la altura hh del prisma, que es la distancia entre las dos bases.

Área de superficie de un prisma recto

A=2⋅Abase+Pbase⋅hA = 2 \cdot A_{base} + P_{base} \cdot h

Las dos bases suman 2⋅Abase2 \cdot A_{base}. Las caras laterales son rectángulos que, desplegados, forman uno largo: su largo es el perímetro PbaseP_{base} de la base y su alto es hh.

Volumen de un cilindro

V=π⋅r2⋅hV = \pi \cdot r^2 \cdot h

Es la misma idea del prisma: el área de la base circular, que es π⋅r2\pi \cdot r^2, por la altura. Aquí rr es el radio, la mitad del diámetro.

Área de superficie de un cilindro

A=2⋅π⋅r2+2⋅π⋅r⋅hA = 2 \cdot \pi \cdot r^2 + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h

Son dos círculos de base más un rectángulo lateral. Su largo es el contorno del círculo, 2⋅π⋅r2 \cdot \pi \cdot r, y su alto es hh.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1

Una caja con forma de prisma de base rectangular de 5 cm5 \text{ cm} por 3 cm3 \text{ cm} y 4 cm4 \text{ cm} de altura. Calcula su volumen y su área de superficie.

  1. Área de la base: 5⋅3=15 cm25 \cdot 3 = 15 \text{ cm}^2.
  2. Volumen: área de la base por la altura, 15⋅4=60 cm315 \cdot 4 = 60 \text{ cm}^3.
  3. Dos bases: 2⋅15=30 cm22 \cdot 15 = 30 \text{ cm}^2.
  4. Perímetro de la base: 5+3+5+3=16 cm5 + 3 + 5 + 3 = 16 \text{ cm}.
  5. Área lateral: 16⋅4=64 cm216 \cdot 4 = 64 \text{ cm}^2.
  6. Área total: 30+64=94 cm230 + 64 = 94 \text{ cm}^2.

Respuesta: Volumen 60 cm360 \text{ cm}^3 y área de superficie 94 cm294 \text{ cm}^2.

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