Guía de estudio · Matemática · 7° básico

Proporcionalidad directa e inversa

Dos cantidades pueden cambiar juntas de dos maneras: si una se multiplica, la otra también (directa), o si una se multiplica, la otra se divide (inversa). Aquí aprendes a reconocerlas en tablas, gráficos y problemas.

Álgebra · Currículum oficial: OA8

Ideas clave

Dos cantidades son proporcionales cuando cambian juntas siguiendo una regla fija.
En la proporcionalidad directa, si una cantidad se duplica, la otra también se duplica. Si una se reduce a la mitad, la otra también.
En la proporcionalidad directa, el cociente entre las dos cantidades siempre da el mismo número. Se llama constante de proporcionalidad.
En la proporcionalidad inversa, si una cantidad se duplica, la otra se reduce a la mitad.
En la proporcionalidad inversa, el producto entre las dos cantidades siempre da el mismo número.
El gráfico de una proporcionalidad directa son puntos sobre una recta que pasa por el origen $(0, 0)$.
El gráfico de una proporcionalidad inversa son puntos que forman una curva que baja, y no pasa por el origen.
Para saber cuál es, mira la tabla: ¿se mantiene igual la división o la multiplicación?

Reglas y fórmulas

Proporcionalidad directa

\frac{y}{x} = k

Al dividir cada valor de $y$ por su valor de $x$ siempre sale el mismo número $k$ . Si $x$ se multiplica por un número, $y$ se multiplica por el mismo número.

Proporcionalidad inversa

x \cdot y = k

Al multiplicar cada valor de $x$ por su valor de $y$ siempre sale el mismo número $k$ . Si $x$ se multiplica por un número, $y$ se divide por ese número.

Resolver con la constante

y = k \cdot x

En una proporcionalidad directa, primero se busca $k$ con un par de valores conocidos. Después se multiplica $k$ por el valor de $x$ que se pide para obtener $y$ .

Resolver una inversa

x_1 \cdot y_1 = x_2 \cdot y_2

En una inversa, el producto del primer par es igual al producto del segundo par. Se despeja el valor que falta dividiendo.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1

En el kiosco, 3 galletas cuestan 900 pesos. Completa la tabla y decide si es proporcionalidad directa: 1 galleta, 3 galletas, 6 galletas, 9 galletas con precios 300, 900, ?, ?

Se ve que 3 galletas cuestan 900 pesos. Se busca el cociente: $900 \div 3 = 300$ .
Con 1 galleta: $1 \cdot 300 = 300$ pesos, coincide con la tabla.
Para 6 galletas: $6 \cdot 300 = 1800$ pesos.
Para 9 galletas: $9 \cdot 300 = 2700$ pesos.
Se comprueba: $1800 \div 6 = 300$ y $2700 \div 9 = 300$ . El cociente siempre es el mismo.

Respuesta: Es proporcionalidad directa con constante $k = 300$ . Los precios que faltan son 1800 pesos y 2700 pesos.

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