Guía de estudio · Matemática · II medio

Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo

En un triángulo rectángulo, el seno, el coseno y la tangente de un ángulo agudo son razones entre sus lados. Dependen solo del ángulo, no del tamaño del triángulo, y sirven para calcular lados o ángulos que faltan.

Geometría · Currículum oficial: OA8

Ideas clave

Un triángulo rectángulo tiene un ángulo de $90^\circ$ . El lado frente a ese ángulo es la hipotenusa, y es el más largo. Respecto de un ángulo agudo $\alpha$ , el cateto opuesto es el que está frente a $\alpha$ y el cateto adyacente es el que forma $\alpha$ junto con la hipotenusa.
Dos triángulos rectángulos con el mismo ángulo agudo son semejantes: sus lados son proporcionales. Por eso la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa es la misma en los dos, sin importar su tamaño. Esa razón depende solo del ángulo, y se llama seno.
El seno de $\alpha$ es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa. El coseno de $\alpha$ es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa. La tangente de $\alpha$ es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.
Como la hipotenusa es el lado más largo, el seno y el coseno de un ángulo agudo siempre están entre $0$ y $1$ . La tangente puede ser cualquier número positivo.
Para calcular un lado, se elige la razón que relaciona el lado que se conoce con el que se busca y se despeja. Para calcular un ángulo, se calcula la razón entre dos lados conocidos y se usa en la calculadora la función inversa: $\operatorname{sen}^{-1}$ , $\cos^{-1}$ o $\tan^{-1}$ .
Resolver un triángulo rectángulo es encontrar todos sus lados y ángulos. Los dos ángulos agudos suman $90^\circ$ , así que si conoces uno, el otro es $90^\circ$ menos ese. Los lados se completan con razones trigonométricas o con el teorema de Pitágoras.
Para estos cálculos la calculadora debe estar en modo grados (DEG). Los valores de la calculadora suelen ser aproximados, así que las respuestas se redondean.

Reglas y fórmulas

Seno

\operatorname{sen}\alpha = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}}

Relaciona el lado frente al ángulo con la hipotenusa. Es un número entre $0$ y $1$ .

Coseno

\cos\alpha = \frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}}

Relaciona el cateto que toca al ángulo con la hipotenusa. También está entre $0$ y $1$ .

Tangente

\tan\alpha = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}}

Relaciona los dos catetos. No usa la hipotenusa.

Ángulos del triángulo rectángulo

\alpha + \beta = 90^\circ

Los dos ángulos agudos suman $90^\circ$ . Además, el cateto opuesto a $\alpha$ es el adyacente a $\beta$ , así que $\operatorname{sen}\alpha = \cos\beta$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1

En el triángulo $ABC$ , con ángulo recto en $B$ , se tiene $AB = 4$ , $BC = 3$ y $CA = 5$ . Calcula el seno, el coseno y la tangente del ángulo $A$ .

Respecto del ángulo $A$ : el cateto opuesto es $BC = 3$ , el cateto adyacente es $AB = 4$ y la hipotenusa es $CA = 5$ .
Seno: $\operatorname{sen} A = \frac{3}{5} = 0{,}6$ .
Coseno: $\cos A = \frac{4}{5} = 0{,}8$ . Tangente: $\tan A = \frac{3}{4} = 0{,}75$ .
Un triángulo semejante, con lados $6$ , $8$ y $10$ , tiene el mismo ángulo $A$ . Su seno es $\frac{6}{10} = 0{,}6$ : la razón no cambió.

Respuesta: $\operatorname{sen} A = 0{,}6$ , $\cos A = 0{,}8$ y $\tan A = 0{,}75$ .

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