Guía de estudio · Matemática · II medio

La función cuadrática: vértice, ceros y concavidad

La función cuadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ , con $a \neq 0$ , se grafica como una parábola. El signo de $a$ dice si abre hacia arriba o hacia abajo, el vértice es su punto más bajo o más alto y los ceros son los puntos donde corta al eje $x$ .

Funciones · Currículum oficial: OA3

Ideas clave

Una función cuadrática es de la forma $f(x) = ax^2 + bx + c$ , con $a$ , $b$ y $c$ números y $a \neq 0$ . Su gráfico es una curva llamada parábola. Aparece en situaciones como el recorrido de una pelota lanzada al aire o el chorro de agua de una fuente.
Para graficarla se hace una tabla de valores: se eligen valores de $x$ , se calcula $f(x)$ y se ubican los puntos $(x, f(x))$ en el plano. Conviene elegir valores a ambos lados del vértice.
La concavidad es hacia dónde abre la parábola, y depende del signo de $a$ . Si $a > 0$ , la parábola abre hacia arriba y el vértice es su punto más bajo (un mínimo). Si $a < 0$ , abre hacia abajo y el vértice es su punto más alto (un máximo). Mientras mayor es $|a|$ , más cerrada es la parábola.
El número $c$ es el valor de la función en $x = 0$ , porque $f(0) = c$ . Por eso la parábola corta al eje $y$ en el punto $(0, c)$ . Cambiar $c$ sube o baja la parábola entera sin cambiar su forma: $x^2 + 1$ es la misma curva que $x^2$ , una unidad más arriba. Cambiar $b$ la mueve de lado y también arriba o abajo, porque cambia el vértice. Pero es $a$ quien decide hacia dónde abre.
El vértice es el punto donde la parábola cambia de sentido. Su coordenada $x$ es $x = -\frac{b}{2a}$ , y la coordenada $y$ se calcula reemplazando ese valor en la función. La recta vertical que pasa por el vértice es el eje de simetría: la parábola es igual a ambos lados de ella.
Los ceros de la función son los valores de $x$ para los que $f(x) = 0$ , es decir, los puntos donde la parábola corta al eje $x$ . Puede cortarlo en dos puntos, tocarlo en uno solo (el vértice) o no cortarlo. Se encuentran en la tabla de valores o factorizando.
La forma canónica es $f(x) = a(x - d)^2 + e$ y muestra el vértice a simple vista: es el punto $(d, e)$ . Por ejemplo, $f(x) = (x - 2)^2 - 1$ tiene vértice $(2, -1)$ . Se llega a ella completando el cuadrado.
Una desigualdad como $y > ax^2 + bx + c$ describe una región del plano: los puntos que están por encima de la parábola. Con $y < ax^2 + bx + c$ son los que están por debajo. Para saber si un punto $(x_0, y_0)$ cumple, se calcula $f(x_0)$ y se compara con $y_0$ .

Reglas y fórmulas

Forma general

f(x) = ax^2 + bx + c, \quad a \neq 0

El signo de $a$ da la concavidad y $c$ es donde la parábola corta al eje $y$ . El gráfico siempre es simétrico respecto de una recta vertical.

Vértice

x_v = -\frac{b}{2a}, \qquad y_v = f(x_v)

Calcula primero $x_v$ y después reemplázalo en la función para obtener $y_v$ . El vértice es $(x_v, y_v)$ .

Forma canónica

f(x) = a(x - d)^2 + e \;\Rightarrow\; V = (d, e)

Con esta forma el vértice se lee directo. Cuidado con el signo de $d$ : en $(x - 2)^2$ el vértice está en $x = 2$ , no en $x = -2$ .

Ceros y vértice

x_v = \frac{x_1 + x_2}{2}

Si la parábola tiene dos ceros, $x_1$ y $x_2$ , el vértice queda justo en el medio. Sirve para comprobar los cálculos.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1

Grafica $f(x) = x^2 - 4x + 3$ con una tabla de valores y encuentra su concavidad, su vértice y sus ceros.

Como $a = 1 > 0$ , la parábola abre hacia arriba. Como $c = 3$ , corta al eje $y$ en $(0, 3)$ .
Tabla de valores: $f(0) = 3$ , $f(1) = 1 - 4 + 3 = 0$ , $f(2) = 4 - 8 + 3 = -1$ , $f(3) = 9 - 12 + 3 = 0$ y $f(4) = 16 - 16 + 3 = 3$ .
Vértice: $x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$ y $f(2) = -1$ , así que $V = (2, -1)$ , el punto más bajo.
Los ceros son los $x$ donde $f(x) = 0$ . En la tabla son $x = 1$ y $x = 3$ : la parábola corta al eje $x$ en $(1, 0)$ y $(3, 0)$ .
Comprueba la simetría respecto de $x = 2$ : $f(1) = f(3)$ y $f(0) = f(4)$ . Además, $2$ es el punto medio entre los ceros $1$ y $3$ .
Para llegar a la forma canónica, completa el cuadrado: como $(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$ , escribe $x^2 - 4x + 3 = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 3 = (x - 2)^2 - 1$ . Esa forma confirma el vértice $(2, -1)$ .

Respuesta: Abre hacia arriba, el vértice es $(2, -1)$ , los ceros son $x = 1$ y $x = 3$ , y corta al eje $y$ en $(0, 3)$ .

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