Guía de estudio · Matemática · II medio

Ecuaciones cuadráticas

Una ecuación cuadrática tiene la forma $ax^2 + bx + c = 0$ , con $a \neq 0$ , y puede tener dos, una o ninguna solución. Se resuelve despejando, factorizando, completando el cuadrado o con la fórmula general. En el gráfico, las soluciones son donde la parábola corta al eje $x$ .

Funciones · Currículum oficial: OA4

Ideas clave

Una ecuación cuadrática es una ecuación en que la incógnita aparece elevada al cuadrado y a ninguna potencia mayor: $ax^2 + bx + c = 0$ , con $a \neq 0$ . Sus soluciones (o raíces) son los valores de $x$ que hacen verdadera la igualdad.
Resolver $ax^2 + bx + c = 0$ es lo mismo que buscar los ceros de la función $f(x) = ax^2 + bx + c$ . En el gráfico, las soluciones son las coordenadas $x$ de los puntos donde la parábola corta al eje $x$ .
Caso $ax^2 = b$ : se despeja $x^2 = \frac{b}{a}$ y se saca la raíz cuadrada. Si el resultado es positivo hay dos soluciones, una positiva y una negativa. Si es cero, hay una sola, $x = 0$ . Si es negativo no hay solución, porque un número al cuadrado nunca es negativo.
Caso $(ax + b)^2 = c$ : se saca raíz cuadrada a los dos lados, $ax + b = \pm\sqrt{c}$ , y se despeja $x$ con cada signo. Caso $ax^2 + bx = 0$ : se factoriza $x$ y queda $x(ax + b) = 0$ . Un producto es cero solo si algún factor es cero, así que $x = 0$ o $ax + b = 0$ .
Caso $ax^2 + bx = c$ : se pasa todo a un lado y se factoriza, o se completa el cuadrado. Completar el cuadrado es sumar a los dos lados lo necesario para que un lado sea el cuadrado de un binomio, y después sacar raíz cuadrada. Si $a$ no es $1$ , primero se divide toda la ecuación por $a$ para que $x^2$ quede solo.
La fórmula general $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ resuelve cualquier ecuación cuadrática. Lo que está dentro de la raíz, $\Delta = b^2 - 4ac$ , se llama discriminante: si es positivo hay dos soluciones, si es cero hay una sola y si es negativo no hay solución. Por ejemplo, $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 = 0$ tiene solo $x = 3$ .
Siempre se comprueba reemplazando cada solución en la ecuación original. En un problema, además, hay que descartar las soluciones que no tienen sentido, como una longitud negativa.

Reglas y fórmulas

Producto igual a cero

a \cdot b = 0 \;\Rightarrow\; a = 0 \ \text{o} \ b = 0

Si un producto vale cero, algún factor vale cero. Por eso factorizar convierte una ecuación cuadrática en dos ecuaciones simples.

Raíz cuadrada

x^2 = k \;\Rightarrow\; x = \pm\sqrt{k} \quad (k \geq 0)

Hay una solución positiva y una negativa. Si $k = 0$ hay una sola, y si $k < 0$ no hay ninguna.

Completar el cuadrado

x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2

Se suma el cuadrado de la mitad de $b$ a los dos lados de la ecuación, y el lado izquierdo queda como un binomio al cuadrado.

Fórmula general

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Sirve para $ax^2 + bx + c = 0$ . El signo $\pm$ entrega las dos soluciones: una con $+$ y otra con $-$ .

Discriminante

\Delta = b^2 - 4ac

Si $\Delta > 0$ , hay dos soluciones; si $\Delta = 0$ , una; si $\Delta < 0$ , ninguna. Se calcula antes de usar la fórmula.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1

Resuelve $3x^2 = 27$ y $(2x - 1)^2 = 25$ .

En la primera, despeja $x^2$ : $x^2 = 9$ . Entonces $x = 3$ o $x = -3$ . Comprueba las dos: $3 \cdot 3^2 = 27$ y $3 \cdot (-3)^2 = 27$ , porque al elevar al cuadrado el signo desaparece.
En la segunda, saca raíz cuadrada a los dos lados. Hay dos posibilidades: $2x - 1 = 5$ o $2x - 1 = -5$ .
Primer caso: $2x = 6$ , así que $x = 3$ . Segundo caso: $2x = -4$ , así que $x = -2$ .
Comprueba: $(2 \cdot 3 - 1)^2 = 5^2 = 25$ y $(2 \cdot (-2) - 1)^2 = (-5)^2 = 25$ .

Respuesta: La primera tiene soluciones $x = 3$ y $x = -3$ . La segunda tiene $x = 3$ y $x = -2$ .

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