Guía de estudio · Matemática · I medio

Sistemas de ecuaciones lineales 2×2

Un sistema 2×2 está formado por dos ecuaciones con dos incógnitas. Su solución es el par de valores que cumple las dos a la vez: en el gráfico, el punto donde se cruzan las dos rectas. Se resuelve por sustitución, igualación o adición.

Álgebra · Currículum oficial: OA4

Ideas clave

Una ecuación con dos incógnitas, como $x + y = 5$ , tiene infinitas soluciones: cada par $(x, y)$ que suma $5$ , como $(0, 5)$ , $(1, 4)$ o $(2, 3)$ .
Una ecuación $ax + by = c$ se puede despejar a la forma $y = mx + n$ , donde $m$ es la pendiente de la recta y $n$ es el valor en que corta al eje $y$ . Por ejemplo, $x + y = 5$ es lo mismo que $y = -x + 5$ . Es una función afín, y su gráfico es una recta.
Un sistema de ecuaciones 2×2 está formado por dos ecuaciones de ese tipo con las mismas dos incógnitas. Su solución es el par $(x, y)$ que cumple las dos ecuaciones a la vez.
En el gráfico, cada ecuación es una recta y la solución es el punto donde las dos rectas se cortan. Si las rectas son paralelas, no se cortan y el sistema no tiene solución; si son la misma recta, todos sus puntos son solución.
Método de sustitución: se despeja una incógnita en una ecuación y se reemplaza en la otra, que queda con una sola incógnita.
Método de igualación: se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones y se igualan las dos expresiones.
Método de adición (o reducción): se suman las dos ecuaciones para que una incógnita se cancele. A veces hay que multiplicar antes una ecuación, o las dos, por un número. Cada ecuación se puede pensar como una balanza equilibrada: lo que haces a un lado lo haces al otro, y por eso se pueden sumar ecuaciones o multiplicarlas por un número.
La solución siempre se comprueba reemplazando el par en las dos ecuaciones. En un problema, primero se dice qué representa cada incógnita y después se plantean las dos ecuaciones.

Reglas y fórmulas

Despejar la y

ax + by = c \;\Rightarrow\; y = -\frac{a}{b}x + \frac{c}{b}

Sirve para graficar la ecuación como una recta, o para usar sustitución e igualación. Funciona cuando $b$ no es cero.

Sustitución

y = 2x, \quad x + y = 12 \;\Rightarrow\; x + 2x = 12

Reemplaza la incógnita despejada en la otra ecuación, resuelve y vuelve a la primera para encontrar la otra incógnita.

Igualación

y = 3x - 1, \quad y = x + 5 \;\Rightarrow\; 3x - 1 = x + 5

Si dos expresiones valen lo mismo, se igualan. Resuelve la ecuación que queda.

Adición

(2x + y) + (x - y) = 7 + 2 \;\Rightarrow\; 3x = 9

Suma las dos ecuaciones lado a lado. Funciona cuando los coeficientes de una incógnita son opuestos.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1

Resuelve gráficamente el sistema $y = x + 1$ e $y = -x + 5$ .

Cada ecuación es una recta. La primera tiene pendiente $1$ y corta el eje $y$ en $1$ ; la segunda tiene pendiente $-1$ y lo corta en $5$ .
Con una tabla de valores: la primera pasa por $(0, 1)$ , $(1, 2)$ y $(2, 3)$ ; la segunda, por $(0, 5)$ , $(1, 4)$ y $(2, 3)$ .
Las dos rectas se cruzan en el punto $(2, 3)$ .
Comprueba en las dos ecuaciones: $3 = 2 + 1$ y $3 = -2 + 5$ .

Respuesta: La solución es $x = 2$ , $y = 3$ .

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