Productos notables: cuadrado de binomio y suma por diferencia

Ideas clave

• Un binomio es una expresión con dos términos, como $x + 3$. Para multiplicar binomios se usa la propiedad distributiva: cada término del primero multiplica a cada término del segundo, es decir, $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$.
• Los productos notables son tres casos especiales de ese producto que aparecen tanto que se aprenden como fórmulas: el cuadrado de una suma, el cuadrado de una diferencia y la suma por diferencia.
• Cuadrado de una suma: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. El término $2ab$ se llama doble producto. Se ve en un cuadrado de lado $a + b$, que se parte en cuatro regiones: un cuadrado de área $a^2$, uno de área $b^2$ y dos rectángulos de área $ab$ cada uno, que juntos son el doble producto.
• Cuadrado de una diferencia: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. El último término es positivo, porque $(-b) \cdot (-b) = b^2$. En figuras: a un cuadrado de lado $a$ le quitas dos rectángulos de $a$ por $b$ (área $2ab$), pero la esquina de $b$ por $b$ la quitaste dos veces, así que la devuelves: $a^2 - 2ab + b^2$.
• Suma por diferencia: $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$. Los dos términos del medio, $-ab$ y $+ab$, se cancelan, por eso no hay término del medio. En figuras: a un cuadrado de lado $a$ le quitas un cuadrado de lado $b$ en una esquina. Lo que queda tiene forma de L: una franja de $a$ por $a - b$ y una pieza de $a - b$ por $b$. Si giras la pieza y la pegas al costado de la franja, queda un rectángulo de $a + b$ por $a - b$.
• Los productos notables se pueden leer al revés para factorizar: $x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)$ y $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$.
• Completar el cuadrado de un binomio es encontrar el término que falta: en $x^2 + 6x + \square$, el $6x$ es el doble producto $2 \cdot x \cdot 3$, así que falta $3^2 = 9$ y queda $(x + 3)^2$.
• Sirven para desarrollar y reducir expresiones algebraicas, y también para calcular de cabeza: $51^2 = (50 + 1)^2 = 2500 + 100 + 1 = 2601$.

Reglas y fórmulas

Ejemplos resueltos