Guía de estudio · Matemática · I medio

El teorema de Tales y la semejanza

Dos figuras semejantes tienen la misma forma y lados proporcionales. El teorema de Tales dice que las rectas paralelas cortan segmentos proporcionales en dos transversales y en los lados de un triángulo. Sirve para escalas y medidas que no se pueden tomar directo.

Geometría · Currículum oficial: OA9, OA10

Ideas clave

Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma: sus ángulos son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales. La razón entre lados correspondientes es el factor de semejanza: si es mayor que $1$ es una ampliación, y si es menor que $1$ , una reducción.
Una homotecia agranda o achica una figura desde un punto fijo, con un factor. La figura que resulta es semejante a la original: cada segmento queda paralelo a su imagen y su largo se multiplica por el factor.
Teorema de Tales con paralelas y transversales: una transversal es una recta que cruza a las paralelas. Si tres o más rectas paralelas cortan a dos transversales, los segmentos que determinan en una son proporcionales a los de la otra. Llama $A$ , $B$ y $C$ a los puntos donde la primera transversal corta a las tres paralelas, y $D$ , $E$ y $F$ a los puntos donde las corta la segunda, en el mismo orden. Entonces $\frac{\overline{AB}}{\overline{BC}} = \frac{\overline{DE}}{\overline{EF}}$ .
Si las rectas no son paralelas, el teorema no vale: al medir, esas razones en general salen distintas. Por eso hay que asegurarse del paralelismo antes de plantear la proporción.
Teorema de Tales en el triángulo: una paralela a un lado de un triángulo, que corta a los otros dos lados, forma un triángulo pequeño semejante al grande. Con $D$ en $\overline{AB}$ , $E$ en $\overline{AC}$ y $\overline{DE}$ paralela a $\overline{BC}$ : $\frac{\overline{AD}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{AE}}{\overline{AC}} = \frac{\overline{DE}}{\overline{BC}}$ . ¿Por qué? Porque el triángulo grande es una homotecia del pequeño, con centro en $A$ y factor $\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}$ : todos los lados crecen en la misma razón.
La escala es la razón entre una medida del modelo y la medida real. Una escala $1 : 50$ significa que $1$ cm del modelo representa $50$ cm de la realidad. Para ir del modelo a la realidad se multiplica por $50$ , y para volver se divide por $50$ .
Para resolver, escribe la proporción con los lados correspondientes en el mismo orden y multiplica en cruz: si $\frac{4}{10} = \frac{6}{x}$ , entonces $4x = 60$ y $x = 15$ .
Teorema de Euclides: la altura sobre la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) de un triángulo rectángulo forma dos triángulos semejantes al grande y entre sí. Si la altura $h$ divide la hipotenusa en $p$ y $q$ , en un triángulo pequeño los catetos son $p$ y $h$ , y en el otro son $h$ y $q$ . Por la semejanza, $\frac{p}{h} = \frac{h}{q}$ , es decir $h^2 = p \cdot q$ .

Reglas y fórmulas

Factor de semejanza

k = \frac{\text{medida en la figura nueva}}{\text{medida en la figura original}}

Si $k > 1$ la figura se amplía; si $k < 1$ se reduce; si $k = 1$ tiene el mismo tamaño.

Tales con paralelas y transversales

\frac{\overline{AB}}{\overline{BC}} = \frac{\overline{DE}}{\overline{EF}}

Los segmentos de una transversal son proporcionales a los segmentos correspondientes de la otra, siempre que las rectas que cortan sean paralelas.

Tales en el triángulo

\frac{\overline{AD}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{AE}}{\overline{AC}} = \frac{\overline{DE}}{\overline{BC}}

El triángulo pequeño $ADE$ es semejante al triángulo grande $ABC$ , así que todos sus lados correspondientes tienen la misma razón.

Escala

\text{medida real} = \text{medida del modelo} \cdot n \quad (\text{escala } 1 : n)

Convierte todo a la misma unidad antes de calcular. La escala $1 : n$ multiplica por $n$ al ir del modelo a la realidad.

Teorema de Euclides: altura

h^2 = p \cdot q

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de los dos segmentos en que la altura divide a la hipotenusa.

Teorema de Euclides: catetos

a^2 = c \cdot p \qquad b^2 = c \cdot q

En un triángulo rectángulo de hipotenusa $c$ , la altura la divide en $p$ , pegado al cateto $a$ , y $q$ , pegado al cateto $b$ . Se llaman proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. El cuadrado de cada cateto es igual a la hipotenusa por su proyección.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1

Tres rectas paralelas cortan a dos transversales. En la primera transversal determinan segmentos $\overline{AB} = 4$ cm y $\overline{BC} = 6$ cm. En la segunda, el primer segmento mide $\overline{DE} = 6$ cm. ¿Cuánto mide $\overline{EF}$ ?

Como las rectas son paralelas, vale el teorema de Tales: $\frac{\overline{AB}}{\overline{BC}} = \frac{\overline{DE}}{\overline{EF}}$ .
Reemplaza los valores: $\frac{4}{6} = \frac{6}{\overline{EF}}$ .
Multiplica en cruz: $4 \cdot \overline{EF} = 6 \cdot 6 = 36$ .
Despeja: $\overline{EF} = 36 : 4 = 9$ cm.
Es razonable: en la primera transversal el segundo segmento es mayor que el primero ( $6 > 4$ ), y en la segunda también ( $9 > 6$ ).

Respuesta: $\overline{EF}$ mide $9$ cm.

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